परिमेय संख्या किसे कहते हैं

परिमेय संख्या किसे कहते हैं – परिमेय संख्याएँ एक बहुत ही सामान्य प्रकार की संख्या है जिसका अध्ययन हम आमतौर पर गणित में पूर्णांकों के बाद करते हैं। ये संख्याएँ p/q के रूप में होती हैं, जहाँ p और q कोई भी पूर्णांक हो सकते हैं और q 0। अक्सर लोगों को संख्याओं की मूल संरचना के कारण भिन्न और परिमेय संख्याओं के बीच अंतर करना भ्रमित करने वाला लगता है, जो कि p/q है। प्रपत्र। भिन्न पूर्ण संख्याओं से बने होते हैं जबकि परिमेय संख्याएं उनके अंश और हर के रूप में पूर्णांकों से बनी होती हैं। आइए इस पाठ में परिमेय संख्याओं के बारे में अधिक जानें।

आइए देखें कि इस लेख में हम यहां परिमेय संख्या किसे कहते हैं विषयों को शामिल करने जा रहे हैं।

एक परिमेय संख्या क्या है?

परिमेय संख्या किसे कहते हैं – क्या आप जानते हैं कि “रेशनल” शब्द की उत्पत्ति कहाँ से हुई है? इसकी उत्पत्ति “अनुपात” शब्द से हुई है। तो, परिमेय संख्याएँ अनुपात की अवधारणा से बहुत अच्छी तरह से संबंधित हैं।

परिमेय संख्या परिभाषा

एक परिमेय संख्या एक संख्या है जो p/q के रूप की होती है जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q 0 के बराबर नहीं है। परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Q द्वारा दर्शाया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि किसी संख्या को एक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है भिन्न जहाँ अंश और हर दोनों पूर्णांक हों, संख्या एक परिमेय संख्या होती है।

परिमेय संख्या किसे कहते हैं, परिमेय संख्याओं की पहचान कैसे करते हैं?

यह पहचानने के लिए कि कोई संख्या परिमेय है या नहीं, नीचे दी गई शर्तों की जाँच करें।

• इसे p/q के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ q≠0।
• अनुपात p/q को और सरल बनाया जा सकता है और दशमलव रूप में दर्शाया जा सकता है।
• तर्कसंगत अंकों का सेट:

धनात्मक, ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य शामिल करें
भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

परिमेय संख्याओं के उदाहरण: परिमेय संख्या किसे कहते हैं

P	q	p/q	विवेकी
10	2	10/2 =5	विवेकी
1	1000	1/1000 = 0.001	विवेकी
50	10	50/10 = 5

परिमेय संख्याओं के प्रकार: परिमेय संख्या किसे कहते हैं

एक संख्या परिमेय होती है यदि हम इसे भिन्न के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ हर और अंश दोनों पूर्णांक हैं और हर एक गैर-शून्य संख्या है।

नीचे दिया गया चित्र हमें संख्या समुच्चयों के बारे में अधिक समझने में मदद करता है।

• वास्तविक संख्याओं (R) में सभी परिमेय संख्याएँ (Q) शामिल हैं।
• वास्तविक संख्याओं में पूर्णांक (Z) शामिल हैं।
• पूर्णांकों में प्राकृतिक संख्याएँ (N) शामिल होती हैं।
• प्रत्येक पूर्ण संख्या एक परिमेय संख्या होती है क्योंकि प्रत्येक पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

परिमेय संख्याओं का मानक रूप

परिमेय संख्या किसे कहते हैं – एक परिमेय संख्या के मानक रूप को परिभाषित किया जा सकता है यदि यह लाभांश और भाजक के बीच एक के अलावा कोई सामान्य कारक नहीं है और इसलिए भाजक सकारात्मक है।

उदाहरण के लिए, 12/36 एक परिमेय संख्या है। लेकिन इसे 1/3 के रूप में सरल बनाया जा सकता है; भाजक और लाभांश के बीच सामान्य कारक केवल एक है। अतः हम कह सकते हैं कि परिमेय संख्या मानक रूप में है।

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सकारात्मक और नकारात्मक परिमेय संख्याएं

जैसा कि हम जानते हैं कि परिमेय संख्या p/q के रूप में होती है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं। साथ ही, q एक शून्येतर पूर्णांक होना चाहिए। परिमेय संख्या धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती है। यदि परिमेय संख्या धनात्मक है, तो p और q दोनों धनात्मक पूर्णांक हैं। यदि परिमेय संख्या -(p/q) का रूप लेती है, तो या तो p या q ऋणात्मक मान लेता है। इसका मतलब है कि

-(पी/क्यू) = (-पी)/क्यू = पी/(-क्यू)।

अब, आइए धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के कुछ उदाहरणों पर चर्चा करें।

सकारात्मक परिमेय संख्याएँ	ऋणात्मक परिमेय संख्याएं
यदि अंश और हर दोनों एक ही चिन्ह के हों	यदि अंश और हर विपरीत चिन्हों के हों
सभी 0 से बड़े हैं	सभी 0 से कम हैं
सकारात्मक परिमेय संख्याओं के उदाहरण: 12/17, 9/11 और 3/5	ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के उदाहरण: -2/17, 9/-11, और -1/5

परिमेय संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन

परिमेय संख्या किसे कहते हैं – गणित में, अंकगणितीय संक्रियाएँ बुनियादी संक्रियाएँ हैं जो हम पूर्णांकों पर करते हैं। आइए हम यहां चर्चा करें कि हम इन संक्रियाओं को परिमेय संख्याओं, जैसे p/q और s/t पर कैसे निष्पादित कर सकते हैं।

1. जोड़: जब हम p/q और s/t जोड़ते हैं, तो हमें हर को समान बनाना होता है। अतः हमें (pt+qs)/qt प्राप्त होता है।
   • उदाहरण: 1/2 + 3/4 = (2+3)/4 = 5/4
2. घटाव: इसी तरह, यदि हम p/q और s/t घटाते हैं, तो भी, हमें पहले हर को समान बनाना होगा, और फिर घटाव करना होगा।
   • उदाहरण: 1/2 – 3/4 = (2-3)/4 = -1/4
3. गुणन: गुणन के मामले में, दो परिमेय संख्याओं को गुणा करते समय, परिमेय संख्याओं के अंश और हर को क्रमशः गुणा किया जाता है। यदि p/q को s/t से गुणा किया जाता है, तो हमें (p×s)/(q×t) प्राप्त होता है।
   • उदाहरण: 1/2 × 3/4 = (1×3)/(2×4) = 3/8
4. भाग: यदि p/q को s/t से विभाजित किया जाता है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है: (पी/क्यू)÷(एस/टी) = पीटी/क्यूएस
   • उदाहरण: 1/2 3/4 = (1×4)/(2×3) = 4/6 = 2/3

परिमेय संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम

चूँकि परिमेय संख्या को p/q के रूप में दर्शाया जाता है, जो एक भिन्न है, तो परिमेय संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम होता है।

उदाहरण के लिए, यदि 4/7 एक परिमेय संख्या है, तो परिमेय संख्या 4/7 का गुणन प्रतिलोम 7/4 है, जैसे कि (4/7)x(7/4) = 1

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परिमेय संख्या गुण: परिमेय संख्या किसे कहते हैं

चूँकि एक परिमेय संख्या वास्तविक संख्या का एक उपसमुच्चय है, परिमेय संख्या वास्तविक संख्या प्रणाली के सभी गुणों का पालन करेगी। परिमेय संख्याओं के कुछ महत्वपूर्ण गुण इस प्रकार हैं:

• यदि हम किन्हीं दो परिमेय संख्याओं को गुणा, जोड़ या घटाते हैं तो परिणाम हमेशा एक परिमेय संख्या होते हैं।
• एक परिमेय संख्या वही रहती है यदि हम अंश और हर दोनों को एक ही गुणनखंड से विभाजित या गुणा करते हैं।
• यदि हम 1 परिमेय संख्या में 0 जोड़ते हैं तो हमें वही संख्या प्राप्त होती है।
• परिमेय संख्याएँ घटाव, जोड़, गुणा, और जोड़के अंतर्गत बंद होती हैं।

परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्या किसे कहते हैं – वे संख्याएँ जो परिमेय संख्याएँ नहीं हैं अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को Q´ द्वारा दर्शाया जाता है। परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच का अंतर इस प्रकार है:

परिमेय संख्याएँ	अपरिमेय संख्याएँ
ये वे संख्याएँ हैं जिन्हें पूर्णांकों के भिन्नों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण: 0.75, -31/5, आदि	ये वे संख्याएँ हैं जिन्हें पूर्णांकों के भिन्नों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरण: √5, π, आदि।
वे दशमलव को समाप्त कर सकते हैं।	वे कभी भी दशमलव को समाप्त नहीं कर रहे हैं।
वे दशमलव के दोहराव वाले पैटर्न के साथ गैर-समाप्ति दशमलव हो सकते हैं। उदाहरण: 1.414, 414, 414 … में दशमलव के दोहराव पैटर्न हैं जहां 414 दोहरा रहा है।	वे दशमलव के बिना दोहराव वाले पैटर्न के साथ गैर-समापन दशमलव होना चाहिए। उदाहरण: √5 = 2.236067977499789696409173…. में दशमलव का कोई दोहराव पैटर्न नहीं है
परिमेय संख्याओं के समुच्चय में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, सभी पूर्ण संख्याएँ और सभी पूर्णांक होते हैं।	अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय एक अलग समुच्चय है और इसमें संख्याओं का कोई अन्य समुच्चय नहीं होता है।

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दो परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ कैसे ज्ञात करें?

परिमेय संख्या किसे कहते हैं – दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। दो भिन्न विधियों का प्रयोग करके दो परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ आसानी से ज्ञात की जा सकती हैं। अब, आइए दो अलग-अलग तरीकों पर एक नज़र डालें।

विधि 1: परिमेय संख्या किसे कहते हैं

दी गई परिमेय संख्याओं के लिए तुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए और उनके बीच में परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए। वे संख्याएँ आवश्यक परिमेय संख्याएँ होनी चाहिए।

विधि 2: परिमेय संख्या किसे कहते हैं

दी गई दो परिमेय संख्याओं का माध्य मान ज्ञात कीजिए। माध्य मान आवश्यक परिमेय संख्या होनी चाहिए। अधिक परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए पुरानी और नई प्राप्त परिमेय संख्याओं के साथ भी यही प्रक्रिया दोहराएँ।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: परिमेय संख्या किसे कहते हैं

निम्नलिखित में से प्रत्येक को अपरिमेय या परिमेय के रूप में पहचानें: , 90/12007, 12, और 5।

समाधान: परिमेय संख्या किसे कहते हैं

चूँकि एक परिमेय संख्या वह होती है जिसे अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह इंगित करता है कि इसे एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसमें हर और अंश दोनों पूर्ण संख्याएं हैं।

• ¾ एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे 3/4 = 0.75 भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
• भिन्न 90/12007 परिमेय है।
• 12, को 12/1 के रूप में भी लिखा जा सकता है। फिर से एक परिमेय संख्या।
• 5 का मान = 2.2360679775…….. यह एक असांत मान है और इसलिए इसे भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। यह एक अपरिमेय संख्या है।

उदाहरण 2: परिमेय संख्या किसे कहते हैं

पहचानें कि क्या मिश्रित भिन्न, 11/2 एक परिमेय संख्या है।

समाधान: परिमेय संख्या किसे कहते हैं

• 11/2 का सरलतम रूप 3/2 . है
• अंश = 3, जो एक पूर्णांक है
• हर = ​​2, एक पूर्णांक है और शून्य के बराबर नहीं है।
• तो, हाँ, 3/2 एक परिमेय संख्या है।

उदाहरण 3: परिमेय संख्या किसे कहते हैं

निर्धारित करें कि दी गई संख्याएँ परिमेय हैं या अपरिमेय।

(ए) 1.75 (बी) 0.01 (सी) 0.5 (डी) 0.09 (डी) √3

समाधान: परिमेय संख्या किसे कहते हैं

दी गई संख्याएं दशमलव स्वरूप में हैं। यह पता लगाने के लिए कि दी गई संख्या दशमलव है या नहीं, हमें इसे भिन्न के रूप में बदलना होगा (अर्थात, p/q)

यदि भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं है, तो संख्या परिमेय है, अन्यथा यह अपरिमेय है।

दशमलव संख्या	अंश	परिमेय संख्या
1.75	7/4	हां
0.01	1/100	हां
0.5	1/2	हां
0.09	1/11	हां
√ 3	?	नहीं

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